Die $\color{blue}p$-$\color{green}q$-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen mit $\color{red}{\text{einfachem quadratischen Teil}}$ (nichts steht vor dem $x^2$ bzw. nur eine gedachte $\color{red}1$), $p$-fachem $\color{blue}{\text{linearen Teil}} und einer $\color{green}{\text{Konstanten}} $\color{green}q$. Die quadratsche Gleichung muss also in Normalform vorliegen:
$$\text{wenn}f(x)=\color{red}1\cdot x^2 + \color{blue}{p}x + \color{green}{q}\text{,}$$
dann sind die Nullstellen $\color{orange}{x_1}$ und $\color{orange}{x_2}$ von $f(x)$ gegeben durch
$$\color{orange}{x_{1,2}} = \text{ }- \frac{\color{blue}{p}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2-\color{green}{q}}$$
Man möchte also Nullstellen (Schnittpunkte der Funktion $f$ mit der $x$-Achse) finden bzw. Lösungen für die Gleichung $$f(x)=0$$
Wie kommt man auf die p-q-Formel?
Wir setzen die Normalform der Gleichung mal ein und versuchen die Gleichung mit allen Techniken die wir bis jetzt kennen nach $x$ aufzulösen:
$$\begin{align*}
x^2 + \color{blue}{p}x + \color{green}{q} &= 0 & &| \text{quadr. ergänzen}\\
&\\
x^2 + \color{blue}{p}x + \underbrace{\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2 -\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2}_{=0} + \color{green}{q} &= 0 & &| \text{nicht verändert}\\
\underbrace{x^2 + \color{blue}{p}x + \left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2}_{} -\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2 + \color{green}{q} &= 0 & &| \text{1. Binom}\\
\underbrace{\left(x+ \frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2 + \color{green}{q} -\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2}_{\color{cyan}{\text{Scheitelpunkt-Form ;)}}} &= 0 & &| -\color{green}{q} +\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2\\
\left(x+ \frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2 &= \left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2-\color{green}{q} & &| \sqrt{\cdot}\\
x+ \frac{\color{blue}{p}}{2} &= \pm\sqrt{\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2-\color{green}{q}} & &| – \frac{\color{blue}{p}}{2}\\
&\\
\color{orange}{x_{1,2}} &= \text{ }- \frac{\color{blue}{p}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{blue}{p}}{2}\right)^2-\color{green}{q}} & &| \text{fertig..}
\end{align*}
$$