Kurvendiskussion und Ableitungen

Alles aus der Differentialrechnung und Integralrechnung. Es werden Kurven d.h. gekrümmte Funktionen in Abhängigkeit einer Variablen x und deren lokale Änderungsrate betrachtet:

 

Die Funktion  $ f(x)=x^2$ (gesprochen: “$f$ von $x$ gleich $x$ hoch zwei”) hat an der stelle $x=2$ die lokale Steigung bzw. Änderungsrate von $f'(2)= 2\cdot 2 = 4$ (sprich: “$f$-strich von $2$ ist gleich $2$ mal $2$ ist gleich $4$”) oder anders ausgedrückt “die erste Ableitung von $f$ an der Stelle $x=2$ ausgewertet ergibt den Wert $4$. Also ist die lokale Steigung von der Funktion $f$ an der Stelle $x=2$ dann $4$”. Das wiederum wäre auch die Steigung einer Tangente $t_f(x)$ die wir im Punkt  $P(2|4)$ an die Funktion $f$ anlegen könnten. Das oder Ähnliches ist eine häufig gestellte Aufgabe zum Thema.

Fragen zum Verständniss:

  1. Was bedeutet die “$4$” bei $P(2|4)$?
  2. Wenn $t_f(x)=m\cdot x+n$ die allgemeine Form der Tangente an $f$ im Punkt $P$ ist, was muss dann der Wert von $m$ sein?
  3. Was ist der Wert von $f'(-2)$, wenn wir als Argument benutzen, dass die Funktion $f$ die Normalparabel (also insbesondere symmetrisch zur y-Achse) ist?
  4. Wie kann man sich die Situation schnell skizzieren (ohne Wertetabelle) sodass nur die wichtigsten Informationen enthalten sind?
  5. Ist $f$ bei einem $x$-Wert eins rechts von $x=2$ steiler oder weniger steil als im Punkt $P$?
  6. Könnte die Frage 5 in Formeln ausgedrückt heißen: $f'(2)>f'(2+1)$ bzw. $f'(2)<f'(2+1)$?

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