Binomische Formeln

Ein Binom ist z.B sowas:
$$(a+b)^2 \text{ oder }(3-6)^2\text{ oder }(x+4)^2$$
entscheidend ist also, man hat zwei Summanden in einer Klammer und quadriert das anschliessend. Also von innen nach außen gelesen.
Binomische Formeln fassen den Vorgang des Ausklammerns der Terme zusammen in eine Formel.

Wie viele Binomische Formeln gibt es?
Es gibt drei Stück, weil wir drei Möglichkeiten haben wie wir $+$ oder $\color{red}-$ in den Klammern finden können: $$(+)(+)\text{, }(\color{red}-)(\color{red}-)\text{ oder }(+)(\color{red}-)$$

Wegen $(+)(\color{red}-)=(\color{red}-)(+)$ haben wir also mit den genannten 3 alle Möglichkeiten

1. Binomische Formel:
$$
\begin{align*}
(a+b)^2 &=(a+b)\cdot (a+b) \\
&= a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b^2\\
&= a^2 + ab + ab + b^2\\
&= \underline{\underline{a^2+2ab+b^2}}\\
&= b^2+2ba+a^2\\
&=(b+a)^2
\end{align*}
$$
2. Binomische Formel:
$$
\begin{align*}
(a\color{red}-b)^2 &=(a\color{red}-b)\cdot (a\color{red}-b)\\
&= a\cdot a \color{red}- a\cdot b \color{red}- b\cdot a + b^2\\
&= a^2 \color{red}- ab \color{red}- ab + b^2\\
&=\underline{\underline{a^2\color{red}-2ab+b^2}}\\
&= b^2\color{red}-2ba+a^2\\
&=(b\color{red}-a)^2
\end{align*}
$$
3. Binomische Formel:
$$
\begin{align*}
(a+b)\cdot (a\color{red}-b) &= a\cdot a + a\cdot b \color{red}- b\cdot a + b\cdot b\\
&= a^2 + \underbrace{(ab \color{red}- ab)}_{=0} + b^2\\
&= \underline{\underline{a^2\color{red}-b^2}}
\end{align*}
$$

Trick mit 3. Binom und Parabel-Nullstellen

parabel-scheitelpkt
Parabel Nullstellen heißt, wir müssen die quadratische Funktionsgleichung nach $x$ auflösen.
Das Tolle ist, wenn wir jetzt wissen wollen was für Nullstellen eine Parabel hat, also was die Lösung einer quadratischen Gleichung nach $x$ ist oder nochmal anders gesagt, was die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von $f$ mit der $x$-Achse sind, dann können wir das besonders schnell, wenn die die Funnktionsgleichung von $f$ die Form einer 3. Binomischen Formel hat z.B. hier
$$
f(x)=x^2-16
$$
dann sehen wir: vorne steht ein $x^2$ das könnte das $a^2$ aus der 3. Binomischen Formel sein und die $16$ könnte (weil es eine einfache Quadratzahl $16$ ist, können wir die Wurzel $\sqrt{16}=4$ daraus im Kopf rechnen und sie ist $4$ – klar!) als $4^2$ ein $b^2$ sein. Dann ist die Gleichung zwar sowieso schon “einfach” (meint ohne mühsame pq-Formel) nach $x$ aufzulösen:
$$
\begin{align*}
f(x)&=0\\
x^2-16&=0 & &|+16\\
x^2 &= 16 & &| \sqrt{\cdot}\\
x_{1,2} &= \pm\sqrt{16}\\
x_{1,2} &= \pm 4\\
\\
\Rightarrow \color{orange}{x_1}&=-4\\
\color{orange}{x_2}&=4
\end{align*}
$$
aber noch schneller geht es mit der Überlegung, dass ja dann die Funktion sich wegen 3. Binomischer Formel schreiben lässt als
$$
f(x)=x^2-16=(x+4)(x-4)
$$

Jetzt DER TRICK:

da ein Produkt, hier das $(x+4)$ “mal” $(x-4)$, immer Null sein muss, wenn einer der Faktoren also entweder $(x+4)$ oder $(x-4)$ Null ist, sieht man sofort die Lösungen: nämlich die Zahlen in den Klammern mit jeweils umgekehrtem Vorzeichen:
$$
\begin{align*}
f(x)&=0\\
(x+4)(x-4)&=0\\
\Rightarrow x+4 &=0 \text{ oder }x-4=0\\
\Rightarrow \color{orange}{x_1}&=-4\\
\color{orange}{x_2}&=4\\
\end{align*}
$$
Also hätte man die Nullstellen $\color{orange}{x_1}$ und $\color{orange}{x_2}$ direkt ablesen können, indem man sich das für $x$ in die Klammern denkt, was die jeweilige Klammer Null setzen würde:
$$
\begin{align*}
(\color{orange}{x_1}+4)(\color{orange}{x_2}-4)&=0\\
\underbrace{(\color{orange}{-4}+4)}_{=0}\underbrace{(\color{orange}{4}-4)}_{=0}&=0\\
\end{align*}
$$

Das gleiche geht natürlich bei allen quadratischen Funktionen die wie ein 3. Binom aussehen z.B.

$$
\begin{align*}
f(x)&=x^2 – 9 = (x+3)(x-3)\\
\Rightarrow \color{orange}{x_1}&=-3 \text{ und }\color{orange}{x_2}=3\\
\\
f(x)&=x^2 – 25 = (x+5)(x-5)\\
\Rightarrow \color{orange}{x_1}&=-5 \text{ und }\color{orange}{x_2}=5\\
\\
f(x)&=x^2 – 4 = (x+2)(x-2)\\
\Rightarrow \color{orange}{x_1}&=-2 \text{ und }\color{orange}{x_2}=2\\
\\
f(x)&=x^2 – 144 = (x+12)(x-12)\\
\Rightarrow \color{orange}{x_1}&=-12 \text{ und }\color{orange}{x_2}=12\\
\end{align*}
$$
usw.

Aber Vorsicht, wenn sowas wie $x^2\color{red}+ 9$ da steht, dann gilt das alles nicht!!
$$
\begin{align*}
f(x)&=x^2 + 9 \color{red}\neq (x+3)(x-3)\\
\end{align*}
$$
und die dazugehörige Parabel hätte $\color{red}{\text{KEINE}}$ Nullstelle:

$$
\begin{align*}
f(x)&=0\\
x^2 + 9 &=0 &|-9\\
x^2 &= -9 &|\sqrt{\cdot}\\
x &=\pm \sqrt{\color{red}{-9}} &\text{ ist Verboten!!}\\
\Rightarrow \text{keine Lösung!}
\end{align*}
$$

Ist ja auch Logisch, denn $f(x)=x^2+9$ ist die Scheitelpunktform und man kann den Scheitelpunkt $S(0|9)$ direkt ablesen. Das heißt also der $y$-Wert liegt ÜBER der $x$-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet (kann man daran sehen, dass vor dem $x^2$ kein “$-$” steht)

normalparabel-scheitelpkt-ohne-nullstellen

Also schneidet sie die $x$-Achse nicht und hat damit auch keine Nullstellen 🙂

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